复合函数

复合函数

复合函数

复合函数是函数运算中的重要概念，它描述了函数的嵌套组合关系。

定义

复合函数：若 y=f(u)y = f(u)y=f(u)，而 u=g(x)u = g(x)u=g(x)，则 y=f[g(x)]y = f[g(x)]y=f[g(x)] 称为由 fff 和 ggg 构成的复合函数，记作 f∘gf \circ gf∘g。

性质

复合函数具有以下重要性质：

定义域：复合函数的定义域是使得 g(x)g(x)g(x) 有定义且 f(g(x))f(g(x))f(g(x)) 有意义的 x 的集合

交换律：复合运算不满足交换律：f∘g≠g∘ff \circ g \neq g \circ ff∘g=g∘f

结合律：复合运算满足结合律：(f∘g)∘h=f∘(g∘h)(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)(f∘g)∘h=f∘(g∘h)

例子

常见的复合函数例子：

f(x)=sin⁡(x2)f(x) = \sin(x^2)f(x)=sin(x2) 是 f(u)=sin⁡uf(u) = \sin uf(u)=sinu 和 g(x)=x2g(x) = x^2g(x)=x2 的复合

f(x)=exf(x) = e^{\sqrt{x}}f(x)=ex​ 是 f(u)=euf(u) = e^uf(u)=eu 和 g(x)=xg(x) = \sqrt{x}g(x)=x​ 的复合

f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln(x^2 + 1)f(x)=ln(x2+1) 是 f(u)=ln⁡uf(u) = \ln uf(u)=lnu 和 g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1g(x)=x2+1 的复合

求复合函数定义域的方法

第一步：求内层函数 g(x)g(x)g(x) 的定义域

第二步：求外层函数 f(u)f(u)f(u) 的定义域

第三步：求使得 g(x)g(x)g(x) 的值属于 f(u)f(u)f(u) 定义域的 x 的范围

复合函数的求导

复合函数的导数可以通过链式法则求得：

ddx[f(g(x))]=f′(g(x))⋅g′(x)\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)dxd​[f(g(x))]=f′(g(x))⋅g′(x)

练习题

练习 1

求复合函数 f(x)=ln⁡(x2+1)f(x) = \ln(\sqrt{x^2 + 1})f(x)=ln(x2+1​) 的定义域。

参考答案解题思路：

需要分别考虑内层函数 x2+1\sqrt{x^2 + 1}x2+1​ 和外层函数 ln⁡u\ln ulnu 的定义域。

详细步骤：

内层函数 x2+1\sqrt{x^2 + 1}x2+1​ 的定义域：x2+1≥0x^2 + 1 \geq 0x2+1≥0，这对所有实数 x 都成立

外层函数 ln⁡u\ln ulnu 的定义域：u>0u > 0u>0，即 x2+1>0\sqrt{x^2 + 1} > 0x2+1​>0

由于 x2+1≥1>0x^2 + 1 \geq 1 > 0x2+1≥1>0，所以 x2+1>0\sqrt{x^2 + 1} > 0x2+1​>0 对所有实数 x 都成立

答案：定义域为 R\mathbb{R}R（全体实数）。

练习 2

求复合函数 f(x)=sin⁡(ln⁡x)f(x) = \sin(\ln x)f(x)=sin(lnx) 的定义域。

参考答案解题思路：

需要分别考虑内层函数 ln⁡x\ln xlnx 和外层函数 sin⁡u\sin usinu 的定义域。

详细步骤：

内层函数 ln⁡x\ln xlnx 的定义域：x>0x > 0x>0

外层函数 sin⁡u\sin usinu 的定义域：u∈Ru \in \mathbb{R}u∈R，对所有实数都有定义

因此复合函数的定义域就是内层函数的定义域

答案：定义域为 (0,+∞)(0, +\infty)(0,+∞)。

练习 3

求复合函数 f(x)=1x−1f(x) = \sqrt{\frac{1}{x-1}}f(x)=x−11​​ 的定义域。

参考答案解题思路：

需要分别考虑内层函数 1x−1\frac{1}{x-1}x−11​ 和外层函数 u\sqrt{u}u​ 的定义域。

详细步骤：

内层函数 1x−1\frac{1}{x-1}x−11​ 的定义域：x≠1x \neq 1x=1

外层函数 u\sqrt{u}u​ 的定义域：u≥0u \geq 0u≥0，即 1x−1≥0\frac{1}{x-1} \geq 0x−11​≥0

解不等式 1x−1≥0\frac{1}{x-1} \geq 0x−11​≥0：

当 x−1>0x-1 > 0x−1>0 时，1x−1>0≥0\frac{1}{x-1} > 0 \geq 0x−11​>0≥0，成立

当 x−1<0x-1 < 0x−1<0 时，1x−1<0\frac{1}{x-1} < 0x−11​<0，不成立

所以 x−1>0x-1 > 0x−1>0，即 x>1x > 1x>1

答案：定义域为 (1,+∞)(1, +\infty)(1,+∞)。